Pakolliset opintojaksot
Tässä opintojaksossa kertaat, vahvistat, syvennät ja laajennat peruskoulussa opittuja matematiikan perustaitoja. Perehdyt lukualuisiin ja lukujen peruslaskutoimituksiin, kertaat prosenttilaskennan ja verrannollisuuden periaatteet sekä vahvistat ymmärrystäsi funktioista. Opintojakson aikana myös kehität opiskelutottumuksiasi sekä opit käyttämään niitä ohjelmistoja, joita tullaan hyödyntämään myöhemmissä matematiikan opinnoissa.
Tässä opintojaksossa perehdyt polynomeihin, murtolausekkeisiin ja juuriin. Opit keskeiset periaatteet, joilla kirjainlausekkeita muokataan ja sievennetään sekä opit ratkaisemaan monentyyppisiä yhtälöitä. Tärkein uusi sisältö on toisen asteen yhtälö ja sen ratkaisu. Näitä perustaitoja tarvitset kaikissa tulevissa pitkän matematiikan opinnoissasi. Teknisissä taidoissa korostuvat funktioiden kuvaajien piirto ja kirjainlausekkeiden käsittely tietokoneella.
Tämä opintojakso tutustuttaa sinut geometrian peruskäsitteisiin ja tuloksiin. Keskeisenä tutkimuskohteena ovat kolmiot, monikulmiot ja ympyrä sekä lieriö, kartio ja pallo. Pythagoraan lauseen ja suorakulmaisen kolmion trigonometrian lisäksi opit kolmioita koskevat sini- ja kosinilauseen. Opintojakson käytyäsi osaat laskea ympyrään liittyviä pituuksia, pinta-aloja ja kulmia sekä tunnet ympyrään liittyvien suorien geometriaa. Harjaannut myös soveltamaan yhdenmuotoisuutta ja mittakaavaa geometristen ongelmien ratkaisemissa. Opintojakson aikana kehität monipuolisesti ohjelmistotaitojasi, kun piirrät mallikuvia, määrität mittoja ja tutkit geometrisissa kuvioissa esiintyviä säännönmukaisuuksia.
Analyyttinen geometria yhdistää luvut ja muodot toisiinsa. Moderni kuvamaailma rakentuu koordinaatiston varaan, oli kyse sitten kuvankäsittelystä tai tietokonepelien 3d-maailmoista. Koordinaattien määrittämä tila ja suuntaa kuvaavat vektorit ovat pohjana maailmaa selittäville malleille, kuten sääennusteille. Opintojakson aikana opit suorien, ympyröiden ja paraabelien yhteyden niitä kuvaaviin yhtälöihin ja perehdyt vektorilaskennan perusteisiin.
Tässä opintojaksossa esitellään uusia funktioita ja perehdytään niiden hyötykäyttöön. Yläkoulusta tutut sini ja kosini saavat lisämerkityksiä: näiden trigonometristen funktioiden avulla voidaan mallintaa aaltoja. Logaritmit ratkaisevat uudentyyppisiä yhtälöitä ja eksponenttifunktiot kuvaavat monia luonnonilmiöitä. Sekin selviää, mitä kummaa voi tarkoittaa 2 potenssiin 1/3.
Tämä opintojakso tutustuttaa sinut ilmiöissä esiintyvän muutoksen matemaattiseen kuvaamiseen. Opintojakson käytyäsi ymmärrät, että funktion derivaatta kuvaa sen arvoissa esiintyvää muutosta, ja toisaalta hallitset keskeiset menetelmät derivaatan arvon määrittämiseen. Omaksut havainnollisen käsityksen matemaattisen analyysin keskeisistä käsitteistä: funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivoituvuudesta. Harjaannut käyttämään derivaatta tutkiessasi funktion kulkua ja ääriarvoja. Kehität myös ohjelmistotaitojasi ratkaistessasi käytännön optimointitehtäviä derivaatan avulla.
Opintojakso tutustuttaa sinut kahteen integraalilaskennan keskeiseen käsitteeseen, integraalifunktioon ja määrättyyn integraaliin, sekä näiden soveltamiseen ongelmien ratkaisemissa. Opit keskeiset integroimistekniikat ja hahmotat, että integrointi on derivoinnille käänteinen toimenpide. Toisaalta opit, että määrätyllä integraalilla on yhteys pinta-alaan, ja tutustut numeeriseen menetelmään määrittää pinta-aloja. Opit laskemaan pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla sekä tutustut muihin integraalilaskennan sovelluksiin. Ohjelmistotaidot harjaantuvat opintojakson aikana, kun integroit funktioita ja lasket määrätyn integraalin arvoja sekä havainnollistat määrättyä integraalia ylä- ja alasummien avulla.
Todennäköisyyslaskenta ja tilastot ovat matematiikan aloista ehkä lähinnä arkielämää. Näemme ympärillämme päivittäin tilastollista tietoa ja arvioimme todennäköisyyksiä. Opintojakso perehdyttää todennäköisyyden ja tilastojen perusteisiin ja johdattelee pidemmälle kombinaatioiden, korrelaatioiden ja jakaumien maailmaan.
Opintojakso antaa matemaattisia valmiuksia oman talouden suunnitteluun sekä pohjatiedot jatko-opinnoille, esimerkiksi yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun. Opintojakson aikana tutustut talousmatematiikan peruskäsitteisiin. Perehdyt korkolaskennan käsitteisiin ja periaatteisiin, kuten koronkorkolaskentaan ja diskonttausmenetelmään. Tutustut eri lainamuotoihin ja niiden takaisinmaksuperiaatteisiin sekä opit vertailemaan eri lainamuotoja. Opintojakson aikana perehdyt myös aritmeettiseen ja geometriseen lukujonoon sekä niiden käyttöön talouden sovellusten lisäksi resurssien riittävyyslaskelmissa. Taulukkolaskenta on keskeinen talous- ja yrittäjätaito, joka harjaantuu opintojakson aikana.
Valinnaiset opintojaksot
Valtakunnalliset valinnaiset
Tällä opintojaksolla opit lisää työkaluja kolmiulotteisten ilmiöiden tarkasteluun, kuten kolmiulotteisen koordinaatiston vektorit ja kahden muuttujan funktiot. Entuudestaan tuttuja tekniikoita, kuten derivaattaa, hyödynnetään kolmiulotteisissa tilanteissa.
Tämän valtakunnallisen valinnaisen opintojakson sisällöt ovat hyödyksi pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa.
Kun matematiikkaa sovelletaan todellisen elämän ongelmien ratkaisemiseen, tarvitaan useimmiten ohjelmointia. Toisaalta ohjelmointia voidaan käyttää apuna puhtaan matemaattisessa tutkimuksessa. Tässä opintojaksossa opit ohjelmoinnin alkeet, algoritmista ajattelua ja miten näitä voidaan hyödyntää matematiikassa. Matemaattisista sisällöistä käsitellään logiikkaa ja lukuteoriaa, erityisesti kokonaislukujen jaollisuutta ja alkulukuja.
Tämän valtakunnallisen valinnaisen opintojakson sisällöt ovat hyödyksi pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa.
Opintojaksossa pureudutaan syvemmälle funktioiden ja differentiaalilaskennan käsitteisiin: mitä tarkalleen tarkoittaakaan jatkuvuus, derivoituvuus, paloittain määritelty funktio tai käänteisfunktio? Toinen teema on äärettömyys, erityisesti funktioiden raja-arvot äärettömyydessä ja intergraalit, joissa rajana on ääretön. Intergraaleja sovelletaan myös todennäköisyyslaskentaan jatkuvien todennäköisyysjakaumien käsittelyssä.
Tämän valtakunnallisen valinnaisen opintojakson sisällöt ovat hyödyksi pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa.
Maunulan omat valinnaiset opintojaksot
Opintojaksossa kerrataan lukion pitkän matematiikan sisällöt soveltuvin osin sekä valmistaudutaan matematiikan ylioppilaskirjoituksiin. Opintojaksossa harjoitellaan vastaustekniikkaa sekä tarvittavien ohjelmistojen käyttöä.
Matemaattinen ajattelu pitää sisällään sekä luovaa ongelmanratkaisua että täsmällistä ajattelua. Opit erilaisia todistustekniikoita, tutustut erilaiseen matematiikkaan ja perehdyt yhteyksiin matematiikan, taiteen ja teknologian välillä. Erityistä huomioita kiinnitetään vaikeiden ongelmien ratkaisemisen taitoon: miten työstää ongelmaa, jonka ratkaiseminen vie tunnin, eikä alkuun tahdo päästä?
Opintojakso on suunniteltu erityisesti matematiikkalukion 1. vuoden opiskelijoille.
Matematiikkalukion 1. vuoden opiskelijoille suunnattu opintojakso Kuvataide ja matematiikka yhdistää kuvataiteen pakollisen moduulin KU1 ja matematiikkalukiolaisille pakollisen opintojakson MAA14. Opintojaksolla käydään läpi molempien oppiaineiden tavoitteet ja sisällöt mutta etsitään myös yhtymäkohtia ja rakennetaan siltoja oppiaineiden välille.
Mikä on taidetta? Mitä tekemistä kuvataiteella on oman elämäni kanssa? Miten kuvia voi tulkita? Kuvataiteen osuudessa on tarkoitus oppia tarkastelemaan omaa kuvakulttuuria eli sitä, millaisessa kuvamaailmassa opiskelija itse elää ja millaisia kuvia hän itse tekee. Eri näkökulmia erilaisiin kuviin tutkitaan kurssin aikana. Selvitetään, mitä pidetään taiteena ja miten kuvia voi tulkita. Ihmetellään, miten erilaisia kuvataiteen muotoja on olemassa, ja huomataan, miten nykytaide kytkeytyy eri tieteenaloihin. Tehtävissä käytetään monipuolisesti eri välineitä ja tekniikoita. Tehdään näyttelyvierailu esim. museoon tai galleriaan. Tutustutaan taidealan jatko-opintomahdollisuuksiin ja ennen kaikkea siihen, mitä hyötyä kuvataiteen opiskelusta on jokaiselle niin lukio-opinnoissa kuin lukion jälkeenkin.
Matematiikan osuus opintojaksoa pitää sisällään sekä luovaa ongelmanratkaisua että täsmällistä ajattelua. Opit erilaisia todistustekniikoita, tutustut matematiikan aloihin ja perehdyt yhteyksiin matematiikan, taiteen ja teknologian välillä. Erityistä huomioita kiinnitetään vaikeiden ongelmien ratkaisemisen taitoon: miten työstää ongelmaa, jonka ratkaiseminen vie tunnin, eikä alkuun tahdo päästä?
Matematiikkamaanantai on koulun oma matematiikkakerho, joka kokoontuu viikoittain koulun jälkeen maanantaisin pohtimaan matemaattisia aiheita. Joka kerralla syvennytään eri teemaan, ja aiheet vaihtelevat laidasta laitaan: harppi ja viivain -geometriaa, fraktaalien piirtämistä tietokoneella, kombinatorisia pelejä, Platonin kappaleita, algoritmeja, muinaista egyptiläistä matematiikkaa, ja niin edelleen. Aiheet toistuvat aikaisintaan kahden vuoden päästä, joten matematiikkamaanantai sopii hyvin sekä 1. että 2. vuoden opiskelijoille, ja abitkin voivat oppia uutta. Matematiikkamaanantaista saa suorituksia läsnäolon perusteella opintojaksoihin maa15 ja maa16.
Matematiikkamaanantai on koulun oma matematiikkakerho, joka kokoontuu viikoittain koulun jälkeen maanantaisin pohtimaan matemaattisia aiheita. Joka kerralla syvennytään eri teemaan, ja aiheet vaihtelevat laidasta laitaan: harppi ja viivain -geometriaa, fraktaalien piirtämistä tietokoneella, kombinatorisia pelejä, Platonin kappaleita, algoritmeja, muinaista egyptiläistä matematiikkaa, ja niin edelleen. Aiheet toistuvat aikaisintaan kahden vuoden päästä, joten matematiikkamaanantai sopii hyvin sekä 1. että 2. vuoden opiskelijoille, ja abitkin voivat oppia uutta. Matematiikkamaanantaista saa suorituksia läsnäolon perusteella opintojaksoihin maa15 ja maa16.
Tilastotiede on se osa matematiikan opintoja, jota kaikkein suurimmalla todennäköisyydellä tulee käytettyä jatko-opinnoissa ja työelämässä. Opintojakson keskeinen teema on tilastollisen testaamisen idea, joka on keskeinen kaikissa kokeellisissa tieteissä. Opintojaksossa perehdytään tilastomatematiikan lisäksi sekä aineistoon keruun ongelmiin että tilastollisen tiedon esittämiseen. Opit muun muassa, miten gallupien virherajat lasketaan ja miten luotettavia ne ovat.
Sopii suoritettavaksi opintojakson Maa8 Tilastot ja todennäköisyys jälkeen.
Matriisit ovat näppärä työkalu monenlaiseen matematiikkaan: ne ovat tärkeitä puhtaalle matematiikalle, ja toisaalta niiden varassa pyörii 3d-grafiikka, kuvankäsittely ja Googlen hakualgoritmi. Tässä opintojaksossa perehdyt matriisilaskennan perusteisiin ja tutustut joihinkin keskeisiin sovelluksiin.
Opintojakso opetetaan joka toinen vuosi. Ei esitietovaatimuksia.
Kun matematiikkaa sovelletaan, täytyy abstrakteista käsitteistä lopulta tuottaa lukuja, joita tietokonekin ymmärtää. Numeriikka tarkoittaa yksinkertaisimmillaan likiarvoilla laskemista, ja laajemmin tekniikoita, joilla matemaattisiin ongelmiin saadaan tehokkaasti likimääräisiä ratkaisuja. Miten laskea luvun 5 neliöjuurelle likiarvo vain kolmella jakolaskulla? Miten laskin tietää, että sini 40 astetta on 0,6427…? Miten ratkaista viidennen asteen yhtälö likimain? Tässä tietotekniikan ja matematiikan välimaastossa seikkailevassa opintojakossa tutustut muun muassa liukulukuihin, Newtonin menetelmään ja Taylorin polynomeihin.
Sopii suoritettavaksi opintojakson Maa6 Derivaatta aikana tai sen jälkeen.
Lukion oppimäärään kuuluu paljon derivointia ja integrointia (maa6, maa7, maa12), mutta näiden tekniikoiden valtava hyödyllisyys kirkastuu lopulta vasta differentiaaliyhtälöiden myötä. Kun matematiikkaa sovelletaan muutoksen mallintamiseen, oli kyseessä sitten planeettajärjestelmä, kemiallinen reaktio tai biologian populaatiomalli, usein luontevin työkalu on differentiaaliyhtälö. Tässä opintojaksossa opit differentiaaliyhtälöiden perusteet ja tutustut niiden erilaisiin sovelluksiin.
Esitietovaatimuksena on MAA7 Integraalilaskenta, jonka voi suorittaa myös yhtä aikaa tämän opintojakson kanssa.
Opintojakso opetetaan joka toinen vuosi.
Matemaattinen malli on jonkin ongelman ratkaisemiseksi rakennettu yksinkertaistettu kuvaus todellisuudesta. Oli kyse sitten ilmastonmuutosta ennustavata valtavasta ilmastomallista tai Afrikan tähti -pelin simuloimisesta, tilannetta kuvaavan mallin rakentaminen eli mallintaminen sisältää samanlaisia vaiheita: Ilmiö pitää ensin ymmärtää, sitten rakentaa ajatusmalli, joka matematisoidaan ja yleensä koodataan tietokoneohjelmaksi. Koesuunnittelun jälkeen katsotaan, mitä malli ennustaa valituilla parametrien arvoilla ja lopuksi johtopäätökset kootaan ymmärrettävään muotoon. Opintojakson aikana tehdään oma pieni mallinnusprojekti, jonka kautta mallintamisen ajatusmaailma tulee tutuksi.
Opintojakso opetetaan joka toinen vuosi.
Peliteoria tutkii konflikteja, joissa strategisesti ajattelevat pelaajat pyrkivät kohti tavoitteitaan. Peliteoriaa kiinnostavat esimerkiksi yritysten hintakilpailu, politiikkojen kilpailu äänestäjistä, eläinmaailman konfliktit ja pokeri. Peliteoria on monitieteinen ala, joka sijaitsee matematiikan, taloustieteen ja filosofian välimaastossa. Opintojaksolla tutuksi tulevat kombinatoriset pelit, vangin dilemma, yhteismaan ongelma ja evolutiiviset pelit.
Opintojaksolla ei ole esitietovaatimuksia. Se opetetaan joka toinen vuosi.
Kompleksiluvut ovat kiehtova reaalilukujen laajennus. Kompleksilukuja tarvitaan niin abstraktissa matematiikassa kuin lukuisissa sovelluksissakin kvanttimekaniikkaa myöten. Tässä opintojaksossa perehdyt kompleksilukujen perusteisiin ja erilaisiin kompleksifunktioihin. Kompleksisten polynomien avulla opit ratkaisemaan 3. ja 4. asteen yhtälöt.
Klassinen geometria on kuin jedin valomiekka: “An elegant weapon for a more civilized age.” Vuosituhansien aikana kasaantunut geometrian tuntemus on kaunis osa matemaattista yleissivistystä. Opintojakson aikana perehdytään muun muassa kolmion merkillisiin pisteisiin, Eulerin suoraan, harppi ja viivain -geometriaan ja geometrisiin kuvauksiin. Klassisiin tuloksiin tutustumisen lisäksi opintojaksossa harjoitellaan matemaattisen tutkimuksen tekemistä: ideoiden keräämistä, hypoteesin muodostamista ja todistamista.
Opintojakso opetetaan joka toinen vuosi.
Itseopiskelu ja muualla suoritettavat opinnot
Pitkän matematiikan lisäsivut on Helsingin matematiikkalukiossa kehitetty kirjasarja syventävän matematiikan itseopiskeluun. Lisäsivuihin on valittu monipuolinen kokoelma syventäviä teemoja lukiomatematiikan ympäriltä. Jokaisen osan voi suorittaa erikseen 1op laajuudessa esittämällä opettajalle tekemänsä työn.
Kilpailumatematiikan opintojakson voi suorittaa harjoittelemalla matematiikkakilpailuja varten koulun omassa valmennusryhmässä tai valtakunnallisessa valmennuksessa, tekemällä kirjevalmennustehtäviä tai osallistumalla valmennusleireille. Kilpamatematiikkaa voi harjoitella, vaikka itse kilpailut eivät kiinnostaisi: kilpamatematiikkaan sisältyy kiehtovia aihepiirejä, joita ei koulussa opi.
Opintojakson voi suorittaa laajuudessa 1 – 10 op.
Opintojaksoihin MAA27 – MAA29 kirjataan suorituksia kertaluontoisista kursseista ja koulun ulkopuolella suoritetuista opinnoista (kuten yliopistokurssit), jotka täydentävät lukion pitkän matematiikan oppimäärää.